Proučevanje 2-Y-homogenih dvodelnih grafov in njihovih povezav s Terwilligerjevi algebrami in kombinatoričnimi načrti / Studying 2-Y-homogeneous bipartite graphs and their connections with Terwilliger algebras and combinatorial designs

Naj bo G dvodelni graf z množico vozlišč Y È Y’ in biparticijo (Y,Y’).
Predpostavljamo, da ima vsako vozlišče iz množice Y ekscentričnost D.
Izberemotri vozlišča: vozlišče x iz množice Y, vozlišče y, ki je na razdalji 2
od vozlišča x, in vozlišče z, ki je na razdalji i tako od x kot tudi od y. Za
vsako celoštevilo i (1 leq i leq D) naj bo $gamma_i(x, y, z)$ število
skupnih sosedov vozlišč x in y, ki so na razdalji i-1 od vozlišča z. Osrednji
cilj tega projektaje identifikacija lastnosti dvodelnih grafov G, ki imajo to
lastnost, da je število $gamma_i(x, y, z)$ neodvisno od izbire vozlišč x, y,
z. Če to velja zavsa cela števila $i ; (1 leq i leq D-2)$, potem rečemo, da
je graf G skoraj 2-Y-homogen. Če ta pogoj velja tudi, ko je i = D – 1, potem
rečemo, da jegraf G 2-Y-homogen.

Karakterizacija oziroma sistematična klasifikacija dvodelnih grafov, ki
so (skoraj) 2-Y-homogeni, predstavlja izjemno zahteven izziv. V splošnem seje
ta problem pokazal kot izjemno težek in kompleksen, zato se večina raziskav
osredotoča na specifične družine grafov, in sicer na
dvodelnerazdaljno-regularne grafe in razdaljno-biregularne grafe.

Naš pristop temelji na obstoječi literaturi in obravnava izzive v okviru
razdaljno-polregularnih grafov. Namen projekta je raziskovanje
2-Y-homogenihlastnosti razdaljno-polregularnih grafov in klasifikacija vseh
2-Y-homogenih razdaljno-biregularnih grafov. Poleg glavnih ciljev ima naša
raziskavapotencial za odmevne rezultate, ki bodo segali izven okvirov stroke
ter imeli pomemben vpliv tudi na širšo skupnost. Rezultati raziskave ne
bodouporabni samo v teoriji grafov, ampak tudi na ostalih področjih matematike,
kot sta algebraična kombinatorika in teorija kombinatoričnih načrtov.

EN

Let $Gamma$ be a bipartite graph with vertex set $Y cup Y’$ and
bipartition $(Y,Y’)$. Assume that each vertex in the set $Y$ has eccentricity
$D$.Choose three vertices: vertex $x$ from the set $Y$, vertex $y$ at distance
$2$ from vertex $x$, and vertex $z$ at distance $i$ from both $x$ and$y$. For
each integer $i$ $(1 leq i leq D)$, let $gamma_i(x, y, z)$ denote the number
of common neighbors of vertices $x$ and $y$ at distance $i-1$ from vertex $z$.
The central aim of this project is to identify properties of bipartite graphs
$Gamma$ such that the quantity $gamma_i(x, y, z)$is independent of the choice
of vertices $x$, $y$, and $z$. If this holds for all integers $i$ $(1 leq i
leq D-2)$, then we say that the graph$Gamma$ is almost $2$-$Y$-homogeneous.
If this condition also holds when $i = D – 1$, then we say that the graph
$Gamma$ is $2$-$Y$-homogeneous.

The characterization or systematic classification of bipartite graphs
that are (almost) $2$-$Y$-homogeneous presents an extremely challengingtask. In
general, this problem has proven to be highly difficult and complex, so most
research focuses on specific families of graphs, particularly onbipartite
distance-regular graphs and distance-biregular graphs.

Our approach is based on existing literature and addresses challenges
within the framework of distance-polynomial regular graphs. The purpose ofthe
project is to investigate $2$-$Y$-homogeneous properties of distance-polynomial
regular graphs and classify all $2$-$Y$-homogeneousdistance-biregular graphs.
In addition to the main objectives, our research has the potential to yield
significant results extending beyond the realm ofthe discipline and impacting
the broader community. The outcomes of the research will not only be
applicable in graph theory but also in other areasof mathematics such as
algebraic combinatorics and combinatorial designs.